数学竞赛平面几何3000字学习攻略，帮你搞定二试40分！

疯儿吹过

高联四大模块中的平面几何部分是与初中知识联结的比较紧密的竞赛知识，高中课内阶段补充了少部分的几个定理以及一些更精妙更有技巧性的方法，在竞赛中，平面几何部分相比于高中课内，更强调与初中知识的衔接。
下面质心姐姐就来说说，从不同时间段开始，怎么学平面几何部分，才能高效“收获”二试40分！


一、不同阶段如何学习平面几何部分？

如果你是从初中开始，那么初一需要解决的是中考范围内的直线形问题——全等、相似、四边形等；初二，开始接触圆和初高中联赛必备的平面几何知识；初三，因为大家可能有中考压力，在复习中考的同时可以集中加强习题训练，这样，你在高一开学，如果能参加高联，那么你在平几上是有非常大的优势。
如果你是从高中开始，只参加过中考没学过初中数学竞赛的知识也没关系，因为在这个时候起码中考范围的内容你是没有问题的。整个路径跟刚才说的比较类似，高一上解决初高联中必备的平面几何知识；高一下加强训练。这样，你在高二的高联中就很有机会把几何题拿下。核心思想就是 —— 先解决课内知识，然后补充竞赛知识，进行训练。
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二、平面几何部分用哪些教材？

下面给大家推荐几本用来学习平面几何的书籍，有需要的同学可以收藏住：
1、《高中数学竞赛专题讲座-平面几何》
这本书里平面几何的基本知识讲解的比较透彻，而且比较好理解。所以对于学完初中课内，想准备竞赛知识的同学来说，这本书可圈可点的，可以通过它来学习一些常规的知识方法。


2、《平面几何证明方法》
这本书阐述了很多方法，从点、线、面到整个几何图形的平移、旋转等等各种变化，讲得非常详细。这本书也是从方法角度和思想层面对学生有很大的提升。它答案是单独卖的，可见这本书答案有多详细。所以这本书的答案如果能好好使用的话，价值非常得大。


3、《奥赛经典》
这套书大家很熟悉，我们推荐的是奥赛经典高中版的几何。这本书定义讲的非常地细，而且定义非常多，但题目有点难，且梯度有点大，a组的简单题还OK，但b组题很多会上升到国家队甚至IMO的难度。所以这本书要选择自己适合的难度和相关的章节去使用，最好有人能指导。


4、《俄罗斯平面几何问题集》、《中等数学》增刊
这两本书的作用不太一样。俄罗斯那本书，它更多的是基础习题，如果你中考完全能搞定，想训练平几的基础能力，这本书就非常适合。但是该书版本较老，建议当做教材使用，不要当做模拟题进行训练。
中等数学增刊则用于初高联的真题刷完之后，它里面有很多国内非常著名的老师出的一些模拟题。整体难度比联赛要偏高一点点，但不会有太大偏差。
5、《几何变换与几何证题》
很经典，很系统，很深入，非常好的一本书，唯一缺点就是有亿点点厚，不建议省队以下目标的同学学习使用。


5、《高中数学竞赛解题策略-几何分册》
基本只推荐给备战CMO以上比赛的同学，高级理论和方法分类很细，可以用来深入学习和练习。


6、《近代欧式几何学》
这本书是非常非常难，但同时也非常全面的几何学教材，将平面几何的各种重要定理和性质一一道来，只推荐高阶同学深入学习。


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三、平面几何学习方法？

之前分享过数竞国际大佬的经验贴，他分享过数学竞赛中几何部分该怎么学，可以按需采纳：
几何与其他方向不同，有多种本质不同的处理手段，最关键的是掌握多种手段解题 —— 纯几何（包括几何变换），三角，复数，重心坐标系，解析几何。
这里不讨论比较“奇怪”的几何题，比如几何不等式或者立体几何，当然主要原因是考得不多。
纯几何法，简单来说就是几何的传统方法。一般标准答案一定会至少给出一个这样的纯几何法，所以普适性最强。
关于纯几何，最权威的书或许是 《 近代欧氏几何学 》。这本书里记录了很多很有趣的性质，但是对具体处理几何题似乎帮助不大......不过有向角和有向线段的书写在这本书里有，可以练习一下；另外，这本书里面讲了很多关于反演的性质，如果你不熟悉反演变换，把这本书里面的性质证一遍会熟悉很多。
反演是处理几何题的常用手段，一般来说，在拿到题目之后都要检测一下能不能通过反演大幅简化问题。这是一个处理很多几何问题的捷径，必须要学会，也不算很难。
调和点列的性质很多，也有很多很“套路”的题目可以用调和和配极做。关于这个，《 中等数学 》有一篇关于调和的文章讲的比较详细。
几何的定理和构型要熟悉。比如伪内切圆，三角形五心的关系， Miquel 点，帕斯卡定理、笛沙格定理等等。很多几何题是基于这些构型的，如果不熟悉的话非常吃亏。
纯几何大概能讲的就这么多，最后要记住：如果做不出来，请画一个标准图，找相似、共线、共圆，大智若愚，往往做不出题的原因是你对这个图形的结构了解的还不够深，只需猜到一些结论或许很快就能得到突破。
三角，是简单几何构图中计算起来最快的方法，也是覆盖面最广的方法，所以联赛几何经常可以用三角做。三角法的技术含量其实不算很高，大概就是把角写出来（这里可能要用角元梅、赛），然后用正弦、余弦定理表示边，最后算出对应的性质。需要注意的是：和差化积、积化和差等三角变形公式必须非常熟悉。并且在处理具体问题的时候，一般来说乘比加的形式更漂亮，因为更容易消掉一些东西 ， 所以在表示边的时候尽可能少用余弦定理，余弦定理一般是最后带入算。
另外，三角法有时要配合同一法。有时候一个角看似不好求，实际上就是已有角的线性表示，带入之后一下就做出来了。所以在三角法陷入僵局的时候可以考虑带入特殊角。
复数法。复数法其实适用范围并不广泛，但是有的题目用复数会远简单 —— 复数是做几何题的独门兵器。复数法一般来说只能适用于圆比较少的情况：因为给定 3 点求圆心坐标很困难。一般来说，原点取一个圆的圆心，并把这个圆取成单位圆，这样可以认为圆上的点有相似三角形用复数比较容易表示，但解两条直线的交点比较困难。在计算的过程中，尽量把所有点都用单位圆上的复数表示，这样取共扼只需要把里面所有单位圆上的复数z分别换成1 / z 即可。
在用复数法解题之前要先判断一下计算的复杂度。一般来说，表示起来复杂的点不能太多，否则计算量会指数级增加。
解析几何法。这是一种很暴力的方法，适用范围最差，计算量最大。我几乎没见过有人可以用解析几何做出 CMO 以上难度的题，就算有，用三角也可以比较快的做出来。当然，有的题目用曲线系等“高级”解析几何方法可以迅速做出，可以参考单墫《 解析几何的技巧 》。
处理一道几何题，一般要先画一个比较标准的图，然后观察是否有好的性质，估测各种计算法的复杂度，然后选择一种方法做下去。特别要注意的是，在 CMO 与之后的考试中，如果点线之问的位置关系不确定。最好使用有向角与有向线段或者分情况讨论（尽管一般是本质相同的）；特别的，在每个交点取出之前，一定要先询问自己“是否有交点”，避免因为这样的平凡情况被扣分。
中国国内的考试对几何的要求不算高，并且很多几何题可以用“算”的方法解出，所以高手做几何题往往更偏重计算法。（有一定原因是中国选手代数基本功较好）计算法的优势在于熟练之后所需时间比较稳定，不容易卡壳。不过， IMO 中较难的几何题中有不少通过计算法很难解出，中国队就普遍做的不好。所以推荐大家在学习几何的时候计算、纯几何方法都要熟练，运用“综合法”解题，这样才更容易稳定发挥。

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大崔

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