平面电磁波

别再闹了

假设电磁波在两个方向上（可以取y、z方向）都是均匀不变的，只在一个方向上（可以取x方向）和时间上变化，那么这样的电磁波称为平面电磁波。设f表示电场或磁场的任意一个分量，则由电磁波波动方程可以导出：
\square f=0.\tag1
或者，等价地：\frac{\partial^2}{\partial t^2}f-c^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}f=0.\tag2 拆开，有：
(\frac\partial{\partial t}-c\frac\partial{\partial x})(\frac\partial{\partial t}+c\frac\partial{\partial x})f=0.\tag3
引入新的变量：
\xi=t-\frac xc,\eta=t+\frac xc.\tag4
（3）式变为：
\frac{\partial^2}{\partial\xi\partial\eta}f=0.\tag5
方程的解显然具有形式：
f=f_1(\xi)+f_2(\eta).\tag6
或者说：
f=f_1(t-\frac xc)+f_2(t+\frac xc).\tag7
可以看出，在 x=ct+\mathrm{const} 和 x=-ct+\mathrm{const} 这两条线上， f_1 和 f_2 分别取定值。可以说，电磁波以光速传播。 f_1(t-\displaystyle\frac xc) 是沿x轴正方向传播的平面波，f_2(t+\displaystyle\frac xc) 是沿x轴负方向传播的平面波。
选择如下的势：
\varphi=0\ ,\ \nabla\cdot\vec A=0.\tag8
在现在的情况下，给出：
\frac{\partial A_x}{\partial x}=0.\tag9
按波动方程，就有 \displaystyle\frac{\partial^2A_x}{\partial t^2}=0 ，即 \displaystyle\frac{\partial A_x}{\partial t }=\mathrm{const} 。但是导数 \displaystyle\frac{\partial\vec A}{\partial t} 决定电场，在这样的情形下，分量 A_x 不为零就意味着有一个纵向恒定电场存在，而这样的电场与电磁波无关。因此我们令 A_x=0 。
因此，平面波的矢势总可以选择为垂直于x轴，即垂直于平面波传播的方向。
我们来考虑一个沿x轴正方向传播的平面波，在这列波里，所有的量，特别是矢势，仅仅是 \xi 的函数。由于：
\vec E=-\frac{\partial\vec A}{\partial t}\ ,\ \vec B=\nabla\times\vec A.\tag{10}
因此：
\vec E=-\frac\partial{\partial\xi}\vec A\ ,\ \vec B=\nabla\times\vec A=\nabla\xi\times\frac\partial{\partial\xi}\vec A=-\frac1c\vec n\times\frac\partial{\partial\xi}\vec A\ .\tag{11}
\vec n 代表波传播方向的单位矢量。把第一个带入第二个：
\vec B=\frac1c\vec n\times\vec E.\tag{12}
我们可以看出，平面波的电场和磁场都垂直于波传播的方向，因此电磁波被称为横波。此外，电场与磁场也互相垂直，而且电场的绝对值是磁场的光速倍。
平面波内的能量流，即坡印廷矢量，为：
\vec S_p=\frac1{\mu_0}\vec E\times\vec B=\frac1{c\mu_0}\vec E\times(\vec n\times\vec E)=\frac1{c\mu_0}E^2\vec n.\tag{13}
电磁波的能量密度为：
W=\frac12\varepsilon_0E^2+\frac1{2\mu_0}B^2=\varepsilon_0E^2.\tag{14}
由此得出：
\vec S_p=cW\vec n.\tag{15}
电磁波的动量密度为：
\vec g=\frac1{c^2}\vec S_p=\frac Wc\vec n=\frac{\varepsilon_0}cE^2.\tag{16}
注意到电磁波的能量是动量的光速倍，这与以光速运动的粒子相同。
电磁波的应力张量（动量流）的唯一非零分量为：
T^{xx}=-\sigma_{xx}=W.\tag{17}
我们来求平面电磁波的能量密度在从一个惯性系变到另一个惯性系时的变换规律。根据张量的变换：
W=\frac1{1-\displaystyle\frac{V^2}{c^2}}(W^\prime+2\frac{V}{c^2}\vec S_{px}^\prime-\frac{V^2}{c^2}\sigma_{xx}^\prime).\tag{18}
并且要做代换：
\vec S_{px}^\prime=cW^\prime\cos\alpha^\prime\ ,\ \sigma_{xx}^\prime=-W^\prime\cos^2\alpha^\prime\ .\tag{19}
式中 \alpha^\prime 是 x^\prime 轴（速度 \vec V 的指向）与波传播方向的夹角（在 K^\prime 系中）。可以得到：
W=W^\prime\frac{(1+\displaystyle\frac Vc\cos\alpha^\prime)^2}{1-\displaystyle\frac{V^2}{c^2}}.\tag{20}