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首先在第一次做评注笔记这样的标题的文章开头，所需要让读者知道的是，这篇文章的“评注笔记”（事实上其可能会是笔者以后较为经常发布的一种文章形式），的正确使用方式应该是，笔者假定（自己的目标受众）读者拥有笔者所评注的教材本身，并具有阅读这本教材所需的前置知识，故而笔者仅是在其基础上进行对正文内容、逻辑的解释、整理、勘误，并根据笔者自身的理解尽量地解决上面的一些值得一做的习题。希望这一系列的评注可以给读者使用这些书籍时以帮助。
笔者采用的是高等教育出版社，俄罗斯数学教材选译系列的，《复分析导论（第一卷）：单复变函数（第四版）》，作者是沙巴特。
我们仅考虑书中第一节，复平面的内容，这点在标题中也已说明。如无特殊情况，今后此类文章的命名皆依循于此。
<hr/>复数
第二页的习题
(a)容易验证这样定义的乘法是满足交换律、结合律，以及对加法的分配律的。作为环来说其具有良好的性质；但是还不够好：譬如这不是一个整环： 1\cdot i=0 成立；又例如，这样定义的乘法导致其不是可除的：元素有逆当且仅当其实部和虚部均非零。
此外，作为 \mathbb{R}- 代数而言这样的乘法也不是很好。若用 \mathbb{R} 中的元素作数乘，则有： x\cdot z=xx_1+ixy_1,x\in\mathbb{R},z=x_1+iy_1\in\mathbb{C}\\ 但是若将 \mathbb{R} 看成 \mathbb{C} 上的一个子域，则作为环 \mathbb{C} 上的乘法，应该有： x\cdot z=xx_1+i\cdot0\\ 成立。前者进行的是基域上元素的数乘，后者是环上的乘法。然而，两种看待方式导致运算结果不一，这样开来，如此定义的乘法也是不太好的。
(b)交换律显然满足；经过略显繁琐（但并不困难）的验证得知，结合律和分配律都是满足的。
随即我们换个角度，考虑求逆的情况。首先容易看出 1=1+i\cdot0 是该乘法系统的单位元。但是在考虑求逆时，列出逆满足的条件——这是一个二阶的实系数线性方程组，而该方程有解当且仅当 x_1^2\neq y_1^2\\ 成立，也就是说在复平面上有两条直线——过原点的 \frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4} 直线上的复数均不可逆，这对我们来说也很不好的。
此外，未免疑虑，对于通常定义的复数乘法，解这个求逆的二阶实系数线性方程组可知，元素有逆当且仅当 x_1^2-y_1^2\neq0\\ 也就是说复平面上只有原点——也就是加法幺元不可逆，而这是合理的。
此外，(a)中的作为 \mathbb{R}- 代数时出现的数乘和环的乘法不一致的情况，在(b)问中是没有的。
第四页的习题
这道题是容易的。根据经纬度的几何意义得到球坐标表示： \begin{equation} \begin{cases} \xi=\cos u\cos t\\\eta=\cos u\sin t\\\zeta=\sin u \end{cases} \end{equation}\\ 利用逆映射公式（15）得到 x=\frac{\xi}{1-\zeta},y=\frac{\eta}{1-\zeta}\\ 代入即可。注意这里还运用了其实是很基础的三角恒等式 \frac{\cos u}{1-\sin u}=\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{u}{2}\right)\\ 验证是容易的。
本小节的评注
总而言之，这一小节从头开始介绍了复数、复数的运算，以及复平面和扩充复平面的性质，不过没有一开始就介绍棣莫弗公式和开根运算。重点自然在于复平面的紧化与球面度量的部分。
第一页末到第二页开头的，有关复数向量积的部分，尤其是第二页末的脚注1，很有意思，也是符合物理直观的。
第三页提到的复平面的紧化也称之为单点紧化，添加进无穷远点之后的扩充复平面有到 S^2 上的一个一一对应，而后者是一个紧集（球面即球的边界是一个有界闭集，闭集是因为其是闭球和开球的补这两个闭集的交）。
第四页的关于欧氏度量和球面度量的概念也非常重要，也是后面很多研究的基础（比如正规族等）。
关于球面度量公式的导出，在此进行细化： \begin{split} d_{\mathrm{sphere}}(z_1,z_2)&=\sqrt{(\xi_1-\xi_2)^2+(\eta_1-\eta_2)^2+(\zeta_1-\zeta_2)^2}\\ &=\frac{2}{(1+|z_1|^2)(1+|z_2|^2)}\sqrt{[x_1(1+|z_2|^2)-x_2(1+|z_1|^2)]^2+[y_1(1+|z_2|^2)-y_2(1+|z_1|^2)]^2+(|z_1|^2-|z_2|^2)^2}\\ &=\frac{2}{(1+|z_1|^2)(1+|z_2|^2)}\sqrt{|z_1|^2+|z_2|^2+2|z_1z_2|^2+|z_1|^2|z_2|^2(|z_1|+|z_2|^2)+|z_1|^4+|z_2|^4-2(x_1x_2+y_1y_2)(1+|z_1|^2)(1+|z_2|^2)}\\ &=\frac{2}{(1+|z_1|^2)(1+|z_2|^2)}\sqrt{1+|z_1|^2}\sqrt{1+|z_2|^2}|z_1-z_2| \end{split}\\ 这就导出了结论。其实并不复杂，只是略显繁琐。
推广到扩充复平面上的（18）式，根据提示是很容易的。
d_{\mathrm{sphere}}(z_1,z_2)\leq2 的证明，利用三角不等式放缩即可，我们还可以说明，对于欧氏度量 |z_1-z_2| 有 d_{\mathrm{sphere}}(z_1,z_2)\leq2|z_1-z_2|\\ 即球面度量是弱于欧氏度量的，这也就是说，在欧氏度量下符合要求的“临近”的点（属于欧氏度量下的邻域），那么在球面度量下一定也在该点的“附近”，也就是说存在球面度量下的邻域包含它。特别地，在有界区域内欧氏度量和球面度量等价。这也就是说，球面度量的威力一般来说显示在无界区域上。因而常常在复平面上考虑欧氏度量，而在扩充复平面上考虑球面度量。顺带一提，笔者所在的不知名大学在笔者所学复分析的那一年的期末考试（面试）就有同组的同学被问到了欧氏度量与球面度量孰强孰弱的问题。
最后证明球面度量确实是一个度量，实际上它应该放得更前，但是有界性自然推出其作为（若是的话）度量与欧氏度量的强弱比较。根据欧氏度量的性质，半正定性是满足的；对称性也是明显的；唯一不平凡的是三角不等式：
实际上仅需证明 \sqrt{1+|z_2|^2}|z_1-z_3|\leq\sqrt{1+|z_3|^2}|z_2-z_1|+\sqrt{1+|z_1|^2}|z_3-z_2|\\ 这里我们无法直接进行一步欧氏度量的三角不等式或者利用欧氏度量与球面度量的等价性进行放缩；实际上可以仿照欧氏度量中三角不等式的证法，采用经典的平方展开即可。
复平面的拓扑
第七页的习题
第七页的习题分为上下一共四道，我们用（3）（4）来指代下面的两道。
（1）由于欧氏度量和球面度量是等价的，因而我们不区分无穷时的情形，转而统一使用记号 d(a_n,a)<\varepsilon .
实际上我们要证的所谓等价定义，就是度量空间上点列收敛的通用定义。度量空间是Hausdorff的，故而点列若收敛则收敛到的点唯一，这就是唯一的那个极限点。反之，根据极限点的定义， \forall\varepsilon>0 ，存在 a 的邻域 U(a,\varepsilon) 使得其包含点列中的无限多个点，且由于这样的极限点是唯一的，这也就意味着必然存在 N\in\mathbb{N} 使得 \forall n>N ， d(a,a_n)<\varepsilon .证毕。
（2）根据（1），是极限点（但是未必唯一）说明对其任何邻域，都含该序列中无限多个点。未必唯一性导致我们不能武断地得到（1）最后的结论，但是可以推出，该序列存在子列收敛到该点。反之，存在子序列收敛到该点，容易写出其是符合极限点的定义的。
实际上跟实数轴的情形类似，极限点全体和子列收敛的极限全体一一对应。
（3）等价于证明 \{\cos n\} 或者 \{\sin n\} 发散，然而这两者都是发散的。
（4） \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛意味着 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n\cos \varphi_n,\sum_{n=1}^\infty r_n\sin \varphi_n 同时收敛，由条件 |\varphi_n|\leq\alpha<\frac{\pi}{2} 得知 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n\cos \varphi_n\geq\cos \alpha\sum_{n=1}^\infty r_n ，故而 \displaystyle\sum_{n=1}^\infty r_n 收敛，这就证明了绝对收敛性。
本小节的评注
给出度量自然意味着给出拓扑，事实上度量诱导的拓扑还具有许多良好的性质；这是在拓扑学中会详细讨论的。本书所用的定义也是较为通用的。
有一个例子很有意思： \mathbb{Z} 在 \mathbb{C} 中是闭集，因为其无极限点（自然也就是闭集），但在 \overline{\mathbb{C}} 中具极限点 \infty ，故其不是闭的。
\overline{\mathbb{C}} 上也满足极限点原理（或称之为Bolzano-Weierstrass原理，书上称之为紧性原理）：其上任意无限集必有聚点。而由上例可知， \mathbb{C} 是不满足极限点原理的。
证明是类似于实数的情形的，我们可以参考卓里奇《数学分析》的2.3节（事实上，这本书的一大参考资料就是卓里奇！作者在上一小节的附录里默认大家知道了度量空间的有关知识且指出如若不知，敬请参考卓里奇）：我们可以要求无限集的点分布在复球面的一个子集（未必真子集）里，且自然可以要求其是闭子集，进而是紧子集（紧集的闭子集是紧集），故而接下来可以仅考虑无限集本身就是闭子集的情形。我们利用了紧集的闭子集是紧子集的结论，这是复球面唯一区别于实数轴的说明。
那么接下来就是和实数轴情形一模一样的了：采用反证法：若无极限点，则对每一点都存在邻域，其与该闭子集的交点数小于无穷（包含不交情形），而这些邻域组成的族构成了闭子集的开覆盖，故而可以选取有限覆盖，这就导致了矛盾：因为这将推出闭子集的元素个数有限。
对于第七页附注二，还需要有额外的说明，这里的问题还是说，不能仅仅认为，选定辐角的一支就可以一劳永逸，譬如在 0 到 2\pi 的交界点处振荡，譬如在第四象限辐角接近于 2\pi 和第一象限辐角接近于 0 时，那么单纯按照常用的方式选取主支可能就不行了。
此外很有意思的是定理1，几乎是一瞬间我就想到了前不久才看过的另一个结论：
若 F 是闭集， K 是紧集且两集合不交，则 d(F,K)>0 .
这样的联想不是空穴来风的。因为，实际上，定理1不过是该结论的简单推论，因为紧集（复球面）的闭子集是紧集。
道路与曲线
第九页的习题
这四条道路两两彼此不等价。
按照直观理解（同时也符合第八页末尾的图示），我们很容易想象（a）是从点 (1,0) 开始绕着单位圆周逆时针绕行了正好一圈回到原点，而（b）则是逆时针绕了两圈，（c）则是顺时针绕了一圈，（d）则是逆时针绕了半圈。
本小节的评注
我们在第八页定义的道路的等价关系，是指的是针对可以进行参数变换这一点的，而不是道路同伦。而映射要求的单调性则说明道路无重复，具体的单调递增则说明变换后的方向不变。这一点在下面的例中已经有了很好体现。
按照本书的定义，曲线是在参数变换这一等价关系下相互等价的道路等价类。
Jordan道路指的是连续（这其实按照上一页对于道路的定义而言是满足的，但是，实际上我们可能考虑（只不过下面才提及）分段连续的曲线和道路，这样的话连续性就不是多余的了）且一一的，也就是说这是一个双射。也就是说其在除了端点外不与自身相交。
Jordan闭曲线指的是闭的Jordan曲线。具体来说，就是在且仅在端点处相交的曲线，是Jordan曲线中在端点处自交的那些。
对于可求长曲线，其指的是有界变差函数，其是几乎处处可积的。有界变差函数可以写成两个单调函数的差，而单调函数是几乎处处可积的。当然这些都是实分析的内容了，我们在此不做详细介绍。
图3（c）中给出了不可求长曲线的例子，这对笔者而言也是一个大启发，因为笔者之前考虑的都是那些经典构造得出的空间填充曲线。
区域
这一小节似乎没有习题。
本小节的评注
区域的定义为（单）连通的开集，且此处定义的连通是道路连通的。连通一定道路连通，但一般地，道路连通不一定连通。不过在开集时，道路连通是连通的。
其实我们还经常考虑折线连通，很幸运，在 \mathbb{C} 上这两者是等价的。证明详见Ahlfors复分析44页的定理3.
此外还有局部连通的概念，但是局部连通一般来说不能推出连通。比如考虑欧氏空间 \mathbb{R} 的子空间 (0,1)\cup(2,3) 即可。
此外连通也不能推出局部连通。我们有经典反例： x\mapsto\sin \frac{1}{x},x\neq0\\ 的函数图形加上纵轴上的区间 \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x=0,|y|\leq1\} ，考虑 \mathbb{R}^2 上自然诱导的子空间拓扑，这个集合是连通的，但是不是局部连通的。
关于道路连通和局部连通，可以参考卓里奇9.4节的习题4、5.
本节定理1的证明运用了，边界点的任意邻域都包含该区域的内点和外点，而这其实就是边界点的定义。
对初学者而言，11页正文最后一段的多个定义需要记住。
此外， \LaTeX 中紧闭属于的符号分别是\Subset,\Supset，对应符号分别是 \Subset,\Supset .
定理2在复分析中相当重要，在今后的证明中会见到114514次，笔者之前整理Ahlfors的知识点回顾的文章里面也用到了多次。比如说，我们可以这么用：证明满足某一性质的集合是既开又闭，而且非空的，那么对单连通区域全体，都满足这一性质。 |
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发表于 2023-1-10 19:55:53