弹性力学-平面应力及平面应变问题-part 1

古即

前言

本内容分成两部分
第一部分：为结构场的平面应力及平面应变问题推导
第二部分：为压电材料及磁电弹材料的平面应力和平面应变问题的参数推导
思维导图如下


基本定理

一、各向应力，及满足的平衡方程（在有限元法中的术语）


  \frac{\partial\sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+Fx=0
\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}+Fy=0
\frac{\partial\sigma_{z}}{\partial z}+\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+Fz=0
二、各向应变，几何方程（在有限元法中的术语）


\varepsilon_{x}=\frac{\partial u}{\partial x} , \varepsilon_{y}=\frac{\partial v}{\partial y} , \varepsilon_{z}=\frac{\partial w}{\partial z} ,
\gamma_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}) , \gamma_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}) , \gamma_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})
三、广义胡克定律，本构方程（在有限元法中的术语）
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}[\sigma_{x}-\mu(\sigma_{y}+\sigma_{z})]
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}[\sigma_{y}-\mu(\sigma_{x}+\sigma_{z})]
\varepsilon_{z}=\frac{1}{E}[\sigma_{z}-\mu(\sigma_{y}+\sigma_{x})]
\gamma_{yz}=\frac{1}{G}\tau_{yz}
\gamma_{zx}=\frac{1}{G}\tau_{zx}
\gamma_{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}
式中：E是拉压弹性模量，G是切变弹性模量， \mu 是泊松比。且有关系 G=\frac{E}{2（1+\mu）}
平面应力状态（plane stress）

平面应力状态适合于薄平板结构，受平行于平板方向的外力作用，如下图所示。此时我们可以做出假设Z 轴方向无应力。即Z 轴方向应力为0
\sigma_{z}=0,   \tau_{yz}=0,   \tau_{xz}=0
此时薄平板只受到 X,Y 轴方向的应力作用。将上述应力条件代入到广义胡克定律中，得出平面应力状态下的本构方程（物理方程）
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}（\sigma_{x}-\mu\sigma_{y}）
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}（\sigma_{y}-\mu\sigma_{x}）
\gamma_{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}=\frac{2（1+\mu）}{E}\tau_{xy}


平面应变状态（plane strain）

变形只发生于平面内，如下图所示的水坝，隧道或者等截面的梁。此时受垂直于Z 轴方向的均布力，假设Z 轴方向无变形，即，Z 轴方向应变为0
\varepsilon_{z}=\frac{\partial w}{\partial z}=0 ， \gamma_{xz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x})=0 ， \gamma_{yz}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y})=0
此时变形只在 X,Y 轴方向发生。将上述应力条件代入到广义胡克定律中，有
\sigma_{z}=\mu(\sigma_{y}+\sigma_{x})
继而得出平面应变状态下的本构方程
\varepsilon_{x}=\frac{1-\mu^{2}}{E}（\sigma_{x}-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_{y}）
\varepsilon_{y}=\frac{1-\mu^{2}}{E}（\sigma_{y}-\frac{\mu}{1-\mu}\sigma_{x}）
\gamma_{xy}=\frac{1}{G}\tau_{xy}=\frac{2（1+\mu）}{E}\tau_{xy}


总结

将本构方程转换成常见的表达方式
\left\{ \sigma \right\}=[D]\left\{ \varepsilon \right\}
平面应变状态


平面应力状态


参考资料

1.Theory of Elasticity -- Timoshenko.pdf1.
2.
3.

人中之王

嗯 是的是的，感谢提醒

李洲

平面应变问题的主应力要怎么求呢