机器学习-超平面

根儿

一、超平面是什么？
维基百科的定义：

In geometry a hyperplane is a subspace of one dimension less than its ambient space.

翻译过来：在几何中，超平面指的是比所处空间少一个维度的子空间。
什么鬼，能不能说人话？
莫急，接着看。
我们都知道，0维的点可以把1维的线分成两部分：


1维的线可以把2维的面分成两部分：


2维的面可以把3维的体分成两部分：


依此类推，n-1维的子空间可以把n维空间分成两部分。
所以，超平面就是这个n-1维子空间，它就像3维空间中的平面，可以用来分割n维空间。

二、为什么叫超平面？
没有查到“超平面”名字的来源，以下纯属个人猜测，如果有误，欢迎指正。
我们生活在3维空间，并把2维空间起名为“平面”，用来分割3维空间。
对于更高维的空间n，既然可以被n-1维的空间进行分割，类似于三维空间的平面，而我们又没办法想象它的样子，也不好一一命名，不妨干脆就叫“超平面”，既简单，也比较直观，方便理解。
所以，这个超的含义，更多的应该是高维。

三、超平面的公式
对于一个n维空间，超平面应该如何表示？
设x0为超平面上的点，ω为超平面的法向量。对于超平面上任何一点x，有：


令：


则有：


这就是超平面的公式。

四、点到超平面的距离
设n维空间中超平面的方程为：


其中ω为法向量，Q为平面上的点。
对于空间中的任一点P，到超平面的距离为PQ在ω上的投影d，如下图所示：


由三角函数关系知：

简迷离

不错不错，比我们高代，解几老师强。

刀疤

非常感谢！！！

石家庄优服网络科技有限公司

写得太好了，非常感谢！

新启行起航

最后应该是w*p+b吧，不是 w x p - b?

刘梓江

我也觉得是。。

农民爱土地

作者你好，最后那里，wQ+b=0，所以wP-wQ应该是wP+b吧？

黄原居士

这个是不是假设这个Q点就是上式的x0 呢

海森林

Q是超平面上任意一点，满足wx+b=0

蓝色绿茵战场

这不就是搬了定义过来么？哪里有讲解？